Java 实现向上取整

前言

在 java 中利用计算机特性实现向上取整的巧妙方法

方法

如下公式，如果需要求 y / x 的向上取整，可以直接通过计算右边得到

$$\lceil \frac{y}{x} \rceil = \frac{y + x - 1}{x}$$

正确性

我们知道，对于一个除法来说，有着：

$$y = kx + b$$

这样又可以分出两种情况，一种就是余数 b = 0，另一种为余数 b > 0

当余数 b = 0 时，我们向上取整的结果就为 k

而当余数 b > 0 时，向上取整的结果为 k + 1

上面的公式通过这样的转换很容易进行理解，将 y = kx + b 代入上面的公式当中可以得到：

$$\lceil \frac{y}{x} \rceil = \frac{y + x - 1}{x} = \frac{kx + b + x - 1}{x} = k + 1 + \frac{b - 1}{x}$$

接下来对右边分别进行两种情况的讨论

• 当余数 b = 0 时，即可以整除，此时结果变为：

  $$\lceil \frac{y}{x} \rceil = k + 1 - \frac{1}{x}$$

  这里又可以进行分类

  • 由于 x 为整数，当 x = 1 时，结果显而易见为 k
  • 当 x != 1 且 x > 0，由于计算机中会对小数部分进行舍去，故右边结果为 k
  • 同理，当 x < 0 时，右边结果运算为 k

• 当余数 b > 0 时，即不可以整除：

  • 当 x > 0 时：

    $$0 < b < x \\ -1 < b - 1 < x \\ -\frac{1}{x} < \frac{b - 1}{x} < 1 \\ 1 - \frac{1}{x} < 1 + \frac{b - 1}{x} < 2$$

    由于结果为大于 1 的小数，故舍弃后的最终结果为 k + 1，符合要求

  • 当 x < 0 时：

    $$0 < b < x \\ -1 < b - 1 < x \\ -\frac{1}{x} > \frac{b - 1}{x} > 1 \\ 1 - \frac{1}{x} > 1 + \frac{b - 1}{x} > 2$$

    同理，小数部分舍弃，最终结果为 k + 1，符合要求

  总结

  这种方法运用的非常巧妙，可以作为思路的启发，当然也可以使用 java 中自带的 Math 类中的静态函数进行向上取整操作